Noções Básicas

Na lógica proposicional , a cada proposição p associamos um entre dois valores possíveis :verdadeiro ou falso. É comum que sejam escolhidos valores numéricos como 1 para representar o verdadeiro e 0 para representar o falso.
Um modelo fuzzy simples é construído associando-se um valor μ(p) a uma proposição p, indicando o grau de veracidade dessa proposição, sendo que μ(x) é uma função (arbitrária) cujo conjunto imagem está entre 0 e 1 (ou 0% e 100%). Se exige pouco dessa funcional: caso p seja verdade, deve estar associado ao valor 100%, caso p seja falso deve ser associado ao valor 0%. Dessa forma, a lógica estende a lógica booleana, pois ao invés de permitir só dois valores (1 e 0) permite uma gama infinita de valores.
Da mesma forma que são estendidos os valores possíveis das proposições, também devem ser estendidos os operadores, como NÃO, E e OU. Porém, ao estender esses operadores, devemos manter certas propriedades, entre elas a compatibilidade com a versão booleana da lógica. Assim, um operador NÃO-fuzzy, ao ser aplicado sobre o valor de uma proposição fuzzy que seja 0 ou 1, deve devolver o mesmo valor que um operador NÃO retornaria na lógica booleana.
Existem uma ampla gama de funções que podem ser utilizadas como NÃO-fuzzy, E-fuzzy e OU-fuzzy, tendo sido aplicadas a vários sistemas, porém as que contém mais propriedades desejáveis e que simultaneamente são bastante fáceis de utilizar são:
Não-fuzzy(x) = 1 - x
E-fuzzy(x,y) = Mínimo(x,y)
OU-fuzzy(x,y) = Máximo(x,y)
Utilizando esse modelo, podemos construir o seguinte exemplo:
Suponha que desejássemos representar de forma fuzzy a altura de Alice (1,65m), Bob (1,75m), Carlos(2,0m) e Denise(1,45m). Nossas proposições serão da forma "X é alto", e serão:
A = Alice é alta, μ(A)=55%
B = Bob é alto, μ(B)=75%
C = Carlos é alto, μ(C) = 100%
D = Denise é alta, μ(D) = 0%
Usando os operadores acima descritos, podemos escrever sentenças como:
Carlos não é alto, NÃO(C), μ(NÃO(C))=100%-μ(C)=0%
Bob não é alto, NÃO(B), μ(NÃO(B))=100%-μ(B)=25%
Denise é alta e Alice é Alta, D e A, μ(D e A)=mínimo(μ(D),μ(A))=0%
A lógica está claramente associada a teoria dos conjuntos. Cada afirmação (do tipo "Carlos é alto") representa na verdade o grau de pertinência de Carlos ao conjunto de pessoas altas. Isso permite que conjuntos como "alto" e "baixo" sejam tratados de forma separadas e afirmações como "Carlos é alto 75%" e "Carlos é baixo 50%" sejam válidas simultaneamente, ao contrário do que seria esperado em um modelo nítido. Esse tipo de afirmação é facilmente encontrada na descrição, por humanos, na forma como entendem certo conceito, e a lógica difusa é uma ótima forma de tratar essa forma de incerteza.