Função

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x é chamado o argumento da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula , um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica em um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x. Este conceito é determinídtico , sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica). Uma função pode ser vista como uma "máquina ou "caixa preta " que converte entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações unívocas.

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo

f(x) = x^2

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado.

Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo,

g(x,y)=xy

recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy.

De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplo acima) ou de função implícita, como em

xf(x)=1

que implicitamente especifica a função

f(x)=1/x

Vimos que a noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números e nem mesmo se limita a computações; a noção matemática de funções é mais geral e não se limita a situações envolvendo números. Em vez disso, uma função liga um "domínio" (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o "contra-domínio" (ou codomínio) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exactamente um elemento do contra-domínio, o conjunto dos elementos do contra-domínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é chamado de "conjunto-imagem" ou "imagem" . As funções são definidas abstractamente por certas relações, como veremos adiante. Por causa de sua generalização, funções aparecem em muitos contextos matemáticos, e muitos campos da matemática baseiam-se no estudo de funções.

Pode notar-se que as palavras "função", "mapeamento", "mapear" e "transformar" são geralmente usadas como sinônimos. Além disso, funções podem ocasionalmente ser referidas como funções bem definidas ou função total (Veja a seção "Definição Formal").