Propriedades e Relações da Matemática

Em termos mais explícitos, definimos uma relação R como sendo um conjunto de pares ordenados (a,b) tais que a pertença ao conjunto A e que b pertença ao conjunto B. Em termos matemáticos:

Note-se que até o próprio conjunto cartesiano é um tipo de relação, dado que todo conjunto é subconjunto impróprio de si mesmo. Até o conjunto vazio pode ser considerado uma relação, mas deve-se tomar alguns cuidados em definições e teoremas para se evitarem paradoxos e contradições.

Relações entre elementos do mesmo conjunto

Um dos tipos mais importantes são as relações em que A = B, ou, em outras palavras, subconjuntos de A x A. Os tipos de propriedades que essas relações podem ter são:

1) Reflexiva:

2a) Simétrica:


2b) Anti-simétrica:

3) Transitiva:

Relações de equivalência

É uma relação que possui as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. Porém simetria não implica transitiva ex: A= {0,1,2,3}

   R= {(1,2),(2,1),(2,3),(2,3),(2,0),(1,1),(3,2),(0,2)}

Relações de ordem

É uma relação que possui as propriedades reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Relações de compatibilidade

Relação Composta

Seja R uma relação de A para B, e S uma relação de B para C. Então podemos definir a relação composta S o R, de A para C, como:

Um cuidado deve ser tomado com essa notação, que é consistente com a notação de função composta, porque S e R parecem estar invertidas.

Relação Inversa

Analogamente ao conceito de função inversa, podemos definir a relação inversa da relação



Note-se que nem sempre (aliás, quase nunca) :